Démonstration que la somme des carrés de 3 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.

Soit la suite d’entiers ( n-1 ) , n , ( n+1 )

    S = la somme des carrés de cette suite = ( n-1 )2  + n2 + ( n+1 )2  = ( n2 – 2n +1 ) + n2 + ( n2 + 2n +1 )

    S = 3n2 + 2

     En prenant la racine carrée de S, on obtient un X non entier, du moins par essais et erreurs car personne à ce jour n’a pu trouver un seul résultat entier. Pour démontrer cette impossibilité d’obtenir un tel entier, nous allons comparer les propriétés modulaires de S et X2. Si un modulo de S n’égale pas le même modulo de X2, cela prouvera que S ≠ X2.

Prenons d’abord X|3 = le modulo 3 de X = le reste de la division de X par 3.

Trois restes pour X|3 sont possibles quand X est entier, soit 0 ou 1 ou 2.

Or pour calculer le modulo 3 d’une multiplication de a × b, on utilise la formule : ab|3 = ( a|3 × b|3 ) |3

    X2|3 = ( X × X ) |3 = ( X|3 × X|3 ) | 3

Si X|3 = 0 alors X  est entier et  X2|3 = (   0   ×   0    ) | 3 = 0

Si X|3 = 1 alors X  est entier et  X2|3 = (   1   ×   1    ) | 3 = 1

Si X|3 = 2 alors X  est entier et  X2|3 = (   2   ×   2    ) | 3 =  4|3 = 1

 On remarque donc que le modulo d’un carré X2|3 pour un X entier = 0 ou 1 mais jamais être 2.

Qu’en est-il de S|3 = ( 3n2 + 2 ) | 3 = ( 3n2|3  +  2|3 )|3 = ( 0 + 2) |3 = 2

Ainsi, le modulo 3 de S est toujours 2, justement la valeur que le modulo 3 de X2 ne peut jamais avoir.

Donc S ≠ X2 et cela prouve l’impossibilité que la somme des carrés de n’importe quels 3 entiers consécutifs puisse égaler le carré d’un entier X. CQFD

Le même type de preuve s’applique facilement à une suite de 4 entiers où S|4 = 2 alors que X2|4 ne peut pas être ni 2 ni 3. Cette méthodologie élimine aussi les suites de 9 et de 12 entiers…

 

Démonstration que la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.

S = n2 + (n+1) 2 + (n+22) + (n+3) 2 + (n+4) 2  =  5n2 + 5×4 n + 30

Alors voyons pour le modulo 4 de cette somme et de X2.

    X2|4 = ( X × X ) |4 = ( X|4 × X|4 ) | 4

Si X|4 = 0 alors X est entier et X2|4 = (   0   ×   0    ) |  = 0

Si X|4 = 1 alors X est entier et X2|4 = (   1   ×   1    ) | 4 = 1

Si X|4 = 2 alors X est entier et X2|4 = (   2   ×   2    ) | 4 =  4|4 = 0

Si X|4 = 3 alors X est entier et X2|4 = (   3   ×   3    ) | 4 =  9|4 = 1

   Alors, X2| 4 ne peut être que 0 ou 1 mais jamais 2 ou 3.

                 S | 4 = ( 5n2  + 5×4n + 30 ) | 4 

Si n|4  = 0 :  S | 4 = (  0    + 0 + 30 ) | 4  =   30|4 = 2           

Si n|4 = 1 :  S | 4 = (  5   + 20 + 30 ) | 4  =  55|4 = 3          

Si n|4 = 2 :  S | 4 = ( 20  + 40 + 30 ) | 4  =  90|4 = 2          

Si n|4 = 3 :  S | 4 = ( 45  + 60 + 30 ) | 4  = 135|4 = 3         

Comme X2| 4 ne peut être ni 2 ni 3 pour un X entier et S | 4 est toujours 2 ou 3, il est impossible que S = X2.

Donc la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré. CQFD

Et la somme des carrés de 13 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré parce qu’aussi le modulo 4 de cette somme est toujours 2 ou 3.

Cette méthode vaut aussi pour une suite de 6 entiers consécutifs car le modulo 4 de la somme des carrés est toujours 3.

Impossibilité démontrée jusqu’ici avec les propriétés de modulo pour les suites de 3 4 5 6 12 13.

Une bonne nouvelle est l’heureuse possibilité de cette fabuleuse suite de 11 entiers :

   182 + 192 + 202 + 212 + 222 + 232 + 242 + 252 + 262 + 272 + 282  =  772

Et, remarquable aussi cette suite consécutive de 3 carrés : 102 + 112 + 122  =  132 + 142

                                                                              Par Richard Lefebvre et Michel Aubé