- Démonstration que la somme des carrés de 3 entiers consécutifs
ne peut donner un entier X au carré.
Soit la suite d'entiers ( n-1 ) , n , ( n+1 )
S = la somme des carrés de cette suite
S = ( n-1 )² + n² + ( n+1 )² = ( n² - 2n + 1 ) + n² + ( n² + 2n + 1 )
S = 3n² + 2
En prenant la racine carré de S, on obtient un X non entier, du moins par essais et erreurs;
personne à ce jour n'a pu trouver un seul résultat entier. On est alors devant une conjecture
que c'est impossible et qu'il faudrait prouver exactement. Pour démontrer cette impossibilité
d'obtenir un tel entier, nous allons comparer les propriétés modulaires de S et X².
Si un modulo 3 de S n'égale pas le même modulo 3 de X², cela prouvera que S ≠ X².
Prenons d'abord X|3 = le modulo 3 de X = le reste de la division d'un entier X par 3.
Trois restes pour X|3 sont possibles quand X est entier, soit 0 ou 1 ou 2.
Or pour calculer le modulo 3 d'une multiplication de a×b,
on utilise la formule : ab|3 = ( a|3 × b|3 )|3
X²|3 = ( XX )|3 = ( X|3 × X|3 )|3
Le modulo 3 peut être 0, 1,ou 2
Si X|3 = 0 et que X est entier alors X²|3 = ( 0×0 ) | 3 = 0
Si X|3 = 1 et que X est entier alors X²|3 = ( 1×1 ) | 3 = 1
Si X|3 = 2 et que X est entier alors X²|3 = ( 2×2 ) | 3 = 4|3 = 1
On remarque donc que le modulo d'un carré X²|3 pour un X entier = 0 ou 1;
mais ne peut jamais être 2.
Qu'en est-il de S|3 = ( 3n² + 2 )|3 = ( 3n²|3 + 2|3 )|3 = ( 0 + 2)|3 = 2
Ainsi, le modulo 3 de S est toujours 2, justement la valeur que le modulo 3 de X² ne peut
jamais avoir. Donc S ≠ X² et cela prouve l'impossibilité que la somme des carrés
de n'importe quelle suite de 3 entiers consécutifs puisse égaler le carré d'un entier X.
CQFD
La conjecture est résolue. Noter que certaines conjectures mathématiques ont pris des
siècles à résoudre avec des preuves lourdes de centaines de pages de démonstrations.
Le même type de preuve s'applique facilement à une suite de 4 entiers où S|4 = 2
alors que X²|4 ne peut pas être ni 2 ni 3. Cette méthodologie élimine aussi les suites
de 9 et de 12 entiers consécutifs.
- Démonstration que la somme des carrés de 5 entiers consécutifs
ne peut donner un entier X au carré.
S = n² + (n+1)² + (n+2)² + (n+3)² + (n+4)² = 5n² + 5×4n + 30
Alors voyons pour le modulo 4 de cette somme et de X².
X²|4 = ( X×X ) |4 = ( X|4 × X|4 ) | 4
Si X|4 = 0 alors X est entier et X²|4 = ( 0×0 ) | 4 = 0
Si X|4 = 1 alors X est entier et X²|4 = ( 1×1 ) | 4 = 1
Si X|4 = 2 alors X est entier et X²|4 = ( 2×2 ) | 4 = 4|4 = 0
Si X|4 = 3 alors X est entier et X²|4 = ( 3×3 ) | 4 = 9|4 = 1
Alors, X²| 4 ne peut être que 0 ou 1 mais jamais 2 ou 3.
S|4 = ( 5n² + 5×4n + 30 )|4
Si n|4 = 0 : S|4 = ( 0 + 0 + 30 )|4 = 30|4 = 2
Si n|4 = 1 : S|4 = ( 5 + 20 + 30 )|4 = 55|4 = 3
Si n|4 = 2 : S|4 = ( 20 + 40 + 30 )|4 = 90|4 = 2
Si n|4 = 3 : S|4 = ( 45 + 60 + 30 )|4 = 135|4 = 3
Comme X²|4 ne peut être ni 2 ni 3 pour un X entier et S|4 est toujours 2 ou 3, il est
impossible que S = X² avec X entier.
Donc la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré.
CQFD
Et la somme des carrés de 13 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré
parce qu'aussi le modulo 4 de cette somme est toujours 2 ou 3.
Cette méthode vaut aussi pour une suite de 6 entiers consécutifs car le modulo 4 de
la somme des carrés est toujours 3.
Impossibilité démontrée jusqu'ici avec les propriétés de modulo pour les suites
de 3 4 5 6 12 et 13 entiers au carré.
Une bonne nouvelle est l'heureuse possibilité de cette fabuleuse suite de 11 entiers :
18² + 19² + 20² + 21² + 22² + 23² + 24² + 25² + 26² + 27² + 28² = 77²
Et, remarquable aussi cette suite consécutive de 3 carrés :
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
- En passant :
3435 = 33 + 44 + 33 + 55
73939133 est premier, ainsi que toutes ses coupures
7393913
739391
73939
7393
739
73
7 Tous des nombres premiers vérifiables avec ce calculateur de nombre premier
Un carré magique 3x3 peut-il être construit avec neuf nombres distincts au carré ?
Jusqu'ici ( en 2024 ) , personne n'a trouvé un tel carré magique.
Il faut donc considérer une conjecture d'impossibilité. Peut-on le prouver ?
Par Richard Lefebvre et Michel Aubé