Démonstration que la somme des carrés de 3 entiers
consécutifs ne peut donner un entier X au carré.
Soit la suite d’entiers ( n-1 ) , n , ( n+1 )
S = la somme des carrés de cette suite = ( n-1 )2 + n2 + ( n+1 )2 = ( n2 – 2n +1 ) + n2 + ( n2 + 2n +1 )
S = 3n2 + 2
En prenant la racine carrée de S, on obtient un X non entier, du moins par essais et erreurs car personne à ce jour n’a pu trouver un seul résultat entier. Pour démontrer cette impossibilité d’obtenir un tel entier, nous allons comparer les propriétés modulaires de S et X2. Si un modulo de S n’égale pas le même modulo de X2, cela prouvera que S ≠ X2.
Prenons d’abord X|3 = le modulo 3 de X = le reste de la division de X par 3.
Trois restes pour X|3 sont possibles quand X est entier, soit 0 ou 1 ou 2.
Or pour calculer le modulo 3 d’une multiplication de a ×
b, on utilise la formule : ab|3 = ( a|3
× b|3 ) |3
X2|3
= ( X × X ) |3 = ( X|3 × X|3 ) | 3
Si X|3 = 0 alors X est entier et X2|3 = ( 0 × 0 ) | 3 = 0
Si X|3 = 1 alors X est entier et X2|3 = ( 1 × 1 ) | 3 = 1
Si X|3 = 2 alors X est entier et X2|3 = ( 2 × 2 ) | 3 = 4|3 = 1
On remarque donc que le modulo d’un carré X2|3 pour un X entier = 0 ou 1 mais jamais être 2.
Qu’en est-il de S|3 = ( 3n2 + 2 ) | 3 = ( 3n2|3 + 2|3 )|3 = ( 0 + 2) |3 = 2
Ainsi, le modulo 3 de S est toujours 2, justement la valeur que le modulo 3 de X2 ne peut jamais avoir.
Donc S ≠ X2 et cela prouve l’impossibilité que la somme des carrés de n’importe quels 3 entiers consécutifs puisse égaler le carré d’un entier X. CQFD
Le même type de preuve s’applique facilement à une suite de 4 entiers où S|4 = 2 alors que X2|4 ne peut pas être ni 2 ni 3. Cette méthodologie élimine aussi les suites de 9 et de 12 entiers…
Démonstration que la somme des carrés de 5 entiers
consécutifs ne peut donner un entier X au carré.
S = n2 + (n+1) 2 + (n+22) +
(n+3) 2 + (n+4) 2 = 5n2 + 5×4 n + 30
Alors voyons pour le modulo 4 de cette somme et de X2.
X2|4
= ( X × X ) |4 = ( X|4 × X|4 ) | 4
Si X|4 = 0 alors X est entier et X2|4 = ( 0 × 0 ) | = 0
Si X|4 = 1 alors X est entier et X2|4 = ( 1 × 1 ) | 4 = 1
Si X|4 = 2 alors X est entier et X2|4 = ( 2 × 2 ) | 4 = 4|4 = 0
Si X|4 = 3 alors X est entier et X2|4 = ( 3 × 3 ) | 4 = 9|4 = 1
Alors, X2| 4 ne peut être que 0 ou 1 mais jamais 2 ou 3.
S | 4 = ( 5n2 + 5×4n + 30 ) | 4
Si n|4 = 0 : S | 4 = ( 0 + 0 +
30 ) | 4 = 30|4 = 2
Si n|4
= 1 : S | 4 = ( 5
+ 20 + 30 ) | 4 = 55|4 = 3
Si n|4
= 2 : S | 4 = ( 20 + 40 + 30 ) | 4 = 90|4
= 2
Si n|4
= 3 : S | 4 = ( 45 + 60 + 30 ) | 4 = 135|4 = 3
Comme X2| 4 ne peut être ni 2 ni 3 pour un X entier et S | 4 est toujours 2 ou 3, il est impossible que S = X2.
Donc la somme des carrés de 5 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré. CQFD
Et la somme des carrés de 13 entiers consécutifs ne peut donner un entier X au carré parce qu’aussi le modulo 4 de cette somme est toujours 2 ou 3.
Cette méthode vaut aussi pour une suite de 6 entiers consécutifs car le modulo 4 de la somme des carrés est toujours 3.
Impossibilité démontrée jusqu’ici avec les propriétés de modulo pour les suites de 3 4 5 6 12 13.
Une bonne nouvelle est l’heureuse possibilité de cette fabuleuse suite de 11 entiers :
182 + 192 + 202 + 212 + 222 + 232 + 242 + 252 + 262 + 272 + 282 = 772
Et, remarquable aussi cette suite consécutive de 3 carrés : 102 + 112 + 122 = 132 + 142
Par Richard Lefebvre et Michel Aubé